6l6 MEMOIRE 



Lorsqu'une fonction d'une seule variable x se présente, 

 pour une certaine valeur a de cette variable, sous lu forme -1, 

 elle n'est pas indéterminée, mais elle a pour valeur la limite 

 dont elle s'approche sans cesse à mesure que x — a décroît. 

 Au contraire , si une fonction de .v et de z prend la forme -^ 

 pour les valeurs x = a , 2=/'. Je ces deux variables, elle 

 sera totalement indéterminée, et tendra vers des limites dif- 

 férentes, selon qu'en faisant décroître simultanément les dif- 

 férences .V — d, z — b , on établira entre ces deux différences 

 tel ou tel autre rapport. Cependant on obtiendra une limite 

 déterminée, si l'on néglige la différence .v — <^; relativement 

 à la différence i — b , et une autre limite aussi déterminée, 

 mais différente de la première, si l'on néglige i — b relative- 

 ment à .V — a. La première hypothèse revient à considérer 

 d'abord .v comme constant et i seul comme variable, puis à 

 substituer, dans cette supposition, la valeur de i, et, après, 

 la valeur de x : c'est ce que nous appellerons substituer la 

 valeur de 2 avant celle de .v. Le contraire aura lieu dans la 

 seconde hypothèse. Ainsi l'on peut dire que la fonction obtient 

 deux valeurs différentes , mais toutes deux déterminées sui- 

 vant l'ordre dans lequel on substitue les valeurs des variables. 



Pour appliquer ces principes à la détermination des inté- 

 i^rales doubles définies, il suffit d'observer qu'une intégrale 

 double étant la somme des élémens relatifs aux diverses va- 

 leurs des deux variables, cette intégrale sera nécessairement 

 déterminée, si tous les élémens ont une valeur déterminée. 

 Cela posé, si, pour aucune des valeurs de x et de i comprises 

 entre les limites de l'intégrale, la fonction sous le signe / ne 

 prend la forme ^, la fonction de deux variables qui résultera 

 d'une première intégration ne pourra jamais devenir indéter- 

 minée, et, par suite, l'intégrale conservera la même valeur 

 dans quelque ordre que les substitutions soient faites. Si le 

 contraire avait lieu, on en serait averti par cette circonstance 



