SUR LES INTÉGRALES DEFINIES. 617 



remarquable , que ia fonction de x et de 2 , résultant d'une 

 ■première intégration , acquerrait , pour certaines valeurs des 

 variables comprises entre les limites de l'intégrale double, une 

 forme indélerminée. Dans cette hypothèse, l'intégrale cherchée 

 obtient deux valeurs déterminées, mais différenies l'une de 

 l'autre , suivant que, dans tous les élémens à-la-fois, on subs- 

 titue ies valeurs de x avant celles de 1, ou les valeurs de 1 

 avant celles de x. Il ne reste plus qu'à faire voir comment, 

 dans le calcul, on peut avoir égard à l'ordre de ces substi- 

 tutions. 



Supposons, par exemple, que l'on veuille substituer les 

 valeurs de .v avant celles de i- Alors, si l'on effectue la pre- 

 mière intégration par rapport à x , rien n'empêchera de subs- 

 tituer immédiatement les valeurs de x, et l'intégrale double 

 cherchée se trouvera remplacée en général par la différence 

 de deux intégrales définies relatives à 1. Mais , si l'on effectue 

 la première intégration relativement à la variable j. et que, 

 pour un système de valeurs des deux variables comprises 

 entre les limites de l'intégrale, la fonction obtenue par ce 

 moyen prenne une forme indéterminée, on ne pourra subs- 

 tituer immédiatement les valeurs de 1, puisqu'on renverserait 

 ainsi l'ordre des substitutions. Au reste, il est facile de voir 

 que l'erreur produite par ce renversement porte entièrement 

 sur la partie de l'intégrale double qui correspond aux sys- 

 tèmes très-voisins de celui qu'on vient de citer : car cette 

 partie est ia seule dont les élémens n'aient pas une valeur 

 déterminée. Cette même partie obtient une valeur nulle, 

 lorsqu'après l'intégration relative à j, on y substitue im- 

 médiatement les valeurs de 2 '. mà'ii, elle cesse de s'évanouir, 

 lorsqu'avant d'opérer cette substitution, on effectue l'inté- 

 gration relative à x. Nous sommes donc conduits, par ce qui 

 précède, à considérer une espèce particulière d'intégrales dé- 

 finies dans lesquelles les limites relatives à chaque variable 



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