SUR LES INTÉGRALES DEFINIES. 621 



On aura donc séparément : 



f dS d V 



r^ " ^^  



dl ~ dx 



On peut encore vérifier immédiatement tes deux équations 

 précédentes à l'aide de la seule différenciation des quatre 

 quantités désignées par S, T, U , V. Ces deux équations 

 renferment toute la théorie du passage du réel à l'imaginaire, 

 et il ne nous reste plus qu'à indiquer la manière de s'en 

 servir. 



Supposons qu'après avoir multiplié les deux membres de 

 chacune des équations (2) par dx di, on se propose de Jes 

 intégrer, par rapport à x et à j , entre des limites réelles de 

 ces deux variables. Désignons par 



S' , S" , t' , T'' , 

 les valeurs de J' et de 7" relatives aux deux limites de ^ . et 

 par 



U' , U" , V , V" , 



les valeurs de U et àe V relatives aux deux limites de x. 

 Si, entre les limites dont il s'agit, les quatre quantités 



S,, T , U , V , 



conservent toujours une valeur détenninée, on aura généra- 

 lement 



J S" dx — J S' dx = J U" dl — J L" dl' , 



JT» dx — JT' dx =J (•" dl — f [-' dl. 



1 



* Les équations (3) peuvent être remplacées par une seule fornnile ima- 

 ginaire, savoir : 



1 / ( ^" -t- T" /— , ) dx — J ( S' -+- T' ■/—, ) dx 

 '^' I =/ {U" -i- K'V^ ) ^^ —J{1-'' -H '^' V~ ) -i^- 



La même remarque s'applique aux équalions (4), et généralement a tous les 

 systèmes d'équations qui seront établis dans les paragraphes suivans, chaque 

 système de-deux équations réelles pouvant être remplacé par une seule formule 

 imaginaire. 



