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Cela posé, les équations (5) deviendront : 



.-I» „, ( . --\ j ,-x' j^V sin(2 a:z) dz =/(-''' Jt 



^"^ \ i^' /t-'' sin(ziO </* -t- e-'' Ji^' cos(2Xz) dz = / f ^' dz 



les intégrales relatives à .v étant prises entre les li'-' 

 et A, et les intégrales relatives à j, entre les limita 

 Si, dans les équations [a), on suppose infinie la . 

 limite de v, les deux quantités 



e'"' Je'-' ûn(i X z) dz , e~'' Je'-' cos ( i jr i ) dz , 



s'évanouiront , et l'on aura simplement 



y <"•'* cos [z X z) dx = e~- J e~' d x ^ 



J f~'' sin ( 2 jr c ) d x = r '' Je^ dz. 



Ces deux dernières équations étaient déjà connues. 



Corollaire i .^'' Lorsque /(v) est une fonction paire 

 de A , f {^^ Z v' — ' ) ^^^ ^" général une fonction réelle 

 de 1, et l'on a, dans cette hypothèse , ^'"rz: o. Si, de plus, 

 la valeur extrême de a- est telle que P" s'évanouisse, la pre- 

 mière des équations ( 5 ) deviendra 



J P' dx = J pdx. 



On peut donc énoncer le théorème suivant : 



THÉORÈME 1." 



Soit f [x] '=■ p un^ Jonction de x telle que , si l'on fdit 



f(x±z^—,) = P' ± P" ■/—, , 



P et P" conservent une valeur déterminée pour toutes les valeurs 

 de X et de 1 comprises entre les limites x = o , a = <-; . J = <^ ' 

 2 = i ,• et qu'en outre P " s'évanouisse aux deux limites de x , 

 quelle que soit d'ailleurs la valeur de i. Si l'on suppose dans P' , 

 2 = /' , on aura 



/ P'dx ^//'dx , 



les intégrales étant prises entre les limites at = o , x = a. 



