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inais ceux qu'on vient de rapporter suffisent , comme on le 

 verra bientôt, pour la détermination d'un grand nombre 

 d'inte'grales définies. 



§. II. 



Sur la différence des râleurs que reçoit une hitégrale double 

 indéterminée relative aux deux variables x et z, suivant 

 qu'on y substitue , dans tous les élémens à- la- fois , les 

 valeurs de x avant celles de z , ou les valeurs de z avant 

 celles de x. 



Dans toutes les intégrales doubles que nous avons consi- 

 dérées jusqu'ici , on peut effectuer immédiatement l'inté- 

 gration relative à l'une des variables. Telle est, par exemple, 



l'intégrale // ~iz'^^ ^Z- Supposons, à l'ordinaire, que cette 



dernière intégrale doive être prise entre les limites Acrrio, 

 xz=za, z^^=^ o , iz=. b. Si l'on substitue, dans tous les élé- 

 mens à-la-fois, les valeurs de i avant celles de at, on aura, 

 en désignant par s ce que devient S quand 2=^^° . ^t sup- 

 posaiit dans S, i^z.b , 



fj 



— dx âi-=i fS d X — fsdx. 



Mais, si l'on suppose les valeurs de x substituées avant 

 celles de i, l'équation précédente ne sera plus vraie; et pour 

 la corriger, il sera nécessaire, ainsi qu'on l'a déjà remarqué, 

 d'ajouter au second membre une certaine quantité A. On 

 aura donc, dans cette seconde hypothèse, 



(8) Jlj-dxdi^=fSdx — fsdx -{-A. 



Il s'agit maintenant de trouver la valeur de A. Il suffit, pour 

 y parvenir, de résoudre le problème suivant. 



