SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 675 



pour la valeur de i'imcgrale / / ~ dx di prise entre les 



limites A-=r^', x=.û", 2 = ^'h-(^. z'=-h". Si, dans 

 l'expression précédente, on suppose, avant l'intégration rela- 

 tive à X, ^ = , celte expression deviendra 



(.0) f<p{x,li")dx — f<p{x,b')dx. 



C'est la valeur de l'intégrale double cherchée, lorsqu'on y 

 substitue les valeurs de i avant celles de .v. Mais, si l'on 

 veut obtenir la valeur de la même intégrale double dans le 

 cas où l'on fait les substitutions en sens contraire, il faudra à 

 l'expression (lo) ajouter une certaine quantité A dont la 

 valeur sera déterminée par l'équation 



(,,) A =f[ç{x, //) — cp (.V, b'-hO]'^--< ' 



dans laquelle on ne doit supposer (^ = qu'après avoir fait 

 l'intégration, par rapport à x , entre les limites x :^z a' , 

 x zzz a" . En admettant cette valeur de A, on aura, pour la 

 valeur de l'intégrale double cherchée dans le cas où l'on 

 substitue les valeurs de x avant celles de j, 



fq>[x, h" ) dx — f(p ( X , h' ) dx -H A. 



Si l'on supposait A" = Cp ( .v , 2) = ^ , h' -=^0 ,b" ^b , 

 en désignant par s ce que devient S quand ^rrr o , et rem- 

 plaçant 1 par b dans ^5^ , on trouverait que l'expression pré- 

 cédente se réduit à 



fSdx —fsdx -H A. 



On était déjà parvenu à une semblable expression ; mais la 

 valeur de A était restée inconnue, et elle se trouve main- 

 tenant déterminée par le calcul qu'on vient de faire. 



La valeur de A, déterminée par l'équation (11), peut se 

 mettre sous une forme plus simple. En effet, si l'on désigne 

 par e une quantité très-petite, on pourra décomposer l'inté- 

 grale /(? (-v, b' ^ Qdx , 



Qqqq* 



