6So MÉMOIRE 



On a d'ailleurs, en général, 



; — lix z=. r — H constante. 



{x^ -t-z^)' X' -i- z' 



Donc, entre les limites .v =. o , x z=z i , 



f (l'Zly- ^-^ = — T^ ' 

 et, par suite, 



comme ci-dessus. 



La valeur de A resterait encore la même au signe près, 

 si, la première limite de x étant négative, la seconde était 

 égale à zéro, ou enfin si ces deux hypothèses avaient'Iieu 

 toutes deux en même temps. 



Je passe maintenant à l'hypothèse générale dans laquelle, 

 X étant compris entre les limites a' et cj" , sans être égal à 

 aucune d'elles, Z est aussi compris entre les limites // et l>" , 

 sans égaler aucune de ces dernières. Dans ce cas, la valeur 



de l'intégrale double / f -JZ ^-^^2 . lorsqu'on substitue, 



dans tous les élémens à-la-fois, les valeurs de i avant celles 

 de X , est encore égale à 



fq>{x,y')Jx — f<p[x,ù']Jx : 



ces dernières intégrales étant prises entre les limites x=zti', 

 X z=z a"  Mais, si l'on renverse l'ordre des substitutions, et 

 que l'on suppose les valeurs de x substituées avant celles 

 de 2, la valeur de l'intégrale double se trouvera augmentée 

 d'une certaine quantité A que l'on déterminera comme il 

 suit. 



Concevons que l'on partage l'intégrale donnée en quatre 

 autres de même forme, prises, savoir, 



