SUR LES INTÉGRALES DEFINIES. 687 



Problème 2.^ La valeur t;énérale de l'intégrale indéfinie 



étant représentée par la fonction de i 



augmentée d'une constante arbitraire, trouver la valeur de 

 l'intégrale définie /<$' ; 2 ^ ^Z prise entre les limites iz=zl> , 



cL .•;:ii! „ ..il) "-y^j'i '■ T'/sL 



Solution. Si la fonction <^ iz) croît ou décroît d'une 

 manière continue entre les limites ■i:z:zh' , jnzz//, la valeur 

 de l'intégrale sera représentée, à l'ordinaire, par 



c^ (/>")- cp(//). 



Mais, si, pour une certaine valeur de j représentée par Z 



de cette même intégrale, mais celle que j'ai nommée vahur principale { vo.iez 

 le résumé des leçons données à l'école royale polytechnique, sur le calcul infinité- 

 simal ). On pourrait, au reste, en raisonnant comme on le fait ici, obtenir la 

 valeur générale, qui strait toujours représentée par une expression de la forme 



• • "• '■'■'■'■ ,^(/,") _ ç(Z,')_ A — a'— A" — &c.. . . 



Seulement'," au lieu de supposer A =: ç ( Z-t- ^) — ?(Z — ^), jl faudrait 

 prendre Jli'rj'>'ff| '  



^' , ^" désignant deux quantités positives infiniment petites, dont It lappurt 

 pourrait converger vers une limite finie quelconque k. En réduisant cette 

 liiTiite à l'unité, on reproduirait la valeur principale calculée dans ce parrT- 

 graphe. 



Si l'on considère en particulier l'intégiale 



/: 



■4 dz 



alors, en opérant comme on vient de le dire, on trouvera, pour sa valeur 

 générale, l {/\) — / ( 2) -+-■ A , la quantité A étant donnée par la formule 



dans laquelle k désigne une constante arbitraire. En réduisant cette constante 

 à l'unité , on obtiendra la valeur principale /( 4 ) — /(2) ' ; •' 



A = / 



