712 MÉMOIRE 



négatives de ol , mais à des valeurs positives de C , on trou- 

 vera 



(58) fpdx = 7<r[zS[ix_ax)-^S[iJ.,x)]-^fp"dl, 



l'intégrale relative à x étant prise entre les limites 



A- :i:r — cx) , x zzz o. 



Si maintenant on ajoute entre elles les équations (37) 

 et (38) , et que l'on désigne par 



la somme des valeurs de ^ qui correspondent à des valeurs 

 positives nulles ou négatives de et, mais à des valeurs posi- 

 tives de G , on aura simplement 



(39) fpdx-=zzvrS{f^±cLx)* 



* Nous avons obtenu la formule (39) en supposant que_/"(x) se réduisait 



Six) 

 à une fonction réelle désignée par p ou par — — ^ — — . Mais rien n'empêche 



F(x) 



d'appliquer la méthode que nous avons suivie pour établir cette formule à une 

 fonction imaginaire, et de supposer, par exemple, 



/( * ) = ? ( cos !• -H -/irr sin r ) , 



q t\ r désignant deux fonctions réelles de x. Alors la formule (39) subsis- 

 tera encore, pourvu que l'on fasse, comme dans le S- Vl [ I." partie], 



;; = ^ cos r , 



et que l'on détermine toujours la quantité /j. par le moyen de l'équation (b), 

 c'est-à-dire, pourvu que l'on représente par p la partie réelle de la fonction 

 f{x), et par — /j. le coefficient de V~ dans le produit 



«/(rt-Hf/rTH-c), 



4 étant une quantité infiniment petite. L'équation (39), ainsi généralisée 

 fournit les valeurs de presque toutes les intégrales définies connues, et d'un 

 grand nombre d'autres. On pourrait la remplacer par la formule (L),qui 

 conduit précisément aux mêmes résultats. On peut aussi présenter l'équation 

 ( 39 ) sous d'autres formes que nous allons indiquer. 



Soit <p{x)-\- V—i xi") une fonction imaginaire qui ne devienne jamais 

 infinie pour des valeurs réelles et finies de x, ni pour des valeurs imaginaires, 

 dans lesquelles le coefficient de /~ reste positif, et supposons 



