SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 715 



infinies positives ou ne'gatives de x , et pour des valeurs infinies 

 positives de 1; enfin soit cl -+- € /^i une des racines ima- 



gmaires de l équation — = o ; et 



1 r #"(« — ê'i/-.) "^' 



M = 



r # ( a — g /-. ) _ &{a-i-€^—,) -j 



Il est essentiel d'observer qu'on ne diminuera pas la généralité de la for- 



,f(x) 

 mule (s), si l'on suppose que —— — — désigne une fraction rationnelle, et 



t [x j 



que la fonction (f (x) -t- V^, ^{x ) continue de remplir les conditions 

 ci-dessus énoncées. En effet, si, la fonction _/"( .x ) étant imaginaire, on dé- 

 signe par 



X = a , X ^ a' , &c. , . . 



les racines réelles et finies de l'équation -— — - :^ o , et par 



ï = a -t- é' y/^i , X = a' -h S' ij^i , &c. . . . 



celles des racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de \^^ est positif; 

 si d'ailleurs on considère, pour plus de simplicité , le cas où toutes les racines 

 sont inégales, il suffira de prendre 



^{x) I 



f(») ~~ (x-a){x-a')...{x-a.-€y—,){x-cL-i.Cv'^,){x-a-C-^-,){x-a.'+e'y~,)... 



[x — a)(x — a)....[{x—a)'-i-e'][{x — a.')' + S'']Si.c 



pour que l'équation 



<p{x) -+- /ZTxi*) = ± C50 



n'ait pas de racines réelles et finies, ni de racines imaginaires dans lesquelles 

 le coefficient de /^ soit positif. 



La formule (s) est du nombre de celles que j'avais établies dans des leçons 

 données, en 1817, au collège de France. Dans l'une de ces leçons, j'avais 

 appliqué la même formule aux cas où l'on prend pour 9 ( jt ) -+- /-T, pj. ( » ) 

 l'une des fonctions ■«-'; r.V,^ " T"^-i' ^ 



rx /— î 



rxy/-, c l{,—rx^~,) 

 /( I — rx y—i ) 



r étant une quantité positive, et j'avais ainsi obtenu les équations 



X 



XXX 



