SUR LES INTEGRALES DEFINIES. 7 1 5) 



intégral d'Euler, page 25.4 ). H l'a démontrée de deux ma- 

 nières. La première est fort compliquée. La seconde est plus 

 simple; mais l'auteur lui-même la regarde comme peu natu- 

 relle : Ne hanc quïdem v'iam pro maxime tiaturali liaberi velim. 

 On voit, par ce qui précède, que la formule dont il s'agit 

 n'est qu'un cas particulier d'une autre beaucoup plus générale, 

 relative aux intégrales qui doivent être prises entre les limites 

 — 00 et -H 00 de la variable. 



Exemple 2.' Soit 



/' 



2« 



m et 11 étant des nombres entiers positifs, et w/ étant <ii. 

 On trouvera 



( . r ( î m -H 1 ) T -1 r ( i m _,- , ) 7 -| 



_^h'"L^ — ^r— J-^'"L^ — iT— J- 



I H- sin (jH — i) : — ' 



I L z» J 



( 2 « -t- I ) TT 



2 n tang — ^— — ^ 



On aura donc , entre les limites x ^=. — c», Arzr:-f-oo, 



/ 



im 



dx = 



2.11 [z m -\~ \) -TT 

 I -H * n tancf 



et , par suite, entre les limites .v = o , x m 00 , 



/i m 

 dx = * . 

 2 « ( 2 m -(- 1 ) X 

 I — X zfi tang 



* Les équations (f) et (d) fournissent seulement les valeurs en termes 

 finis des intégrales qu'elles renferment. Ajoutons que les équations {l>) ex 



[i/ ) , quand on y remplace x par xT- , et a ^ar b a , prennent les formes 



