SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 727 



l'intégrale étant toujours prise entre les limites x :=z o, 



X =Z CX). 



Dans cette dernière formule, a et b sont deux nombres 

 entiers quelconques, mais tels que les équations i H- .v" = o, 

 I -+- A-' =: o, n'aient pas de racines communes; r est un 

 nombre positif quelconque, rationnel ou irrationnel, mais 

 plus petit que a -\- h : enfin , la première des deux séries qui 

 entrent dans le second membre de l'équation , doit être conti- 

 nuée jusqu'au terme qui a pour dénominateur 



1 -+- COS { Z a I ) TT , 



^ ' a 



et la seconde jusqu'au terme qui a pour dénominateur 

 I -+- COS { X b — I ) -7- vr. 



Si, dans l'équation [f), on supposait bzzzo, la seconde 

 série devrait être supprimée , et la première se trouverait ré- 

 duite à 



/ 1 — û\ / ^-a\ I ia—i—a\ 

 COS I I T )• -H COS I \-jr r -{- -i-cosi ) tt i 



sin — 



r T 

 i a sin 



On aurait , par suite , 



2 ( < -*-*■") ~ 



ce qui est l'équation d'Euler. 



P 



Exemple 4-^ Soit, en général, -^ une fonction rationnelle 



quelconque de x; la méthode précédente fournira toujours la 

 valeur de l'intégrale 



J~dx. 



prise entre les limites x r^z. — oo , x zrr -f- oo , pourvu que 

 l'équation Q zzz o n'ait pas de racines égales. Cette méthode 



