SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 789 



Troisième Observation. La propiictc qu'ont les deux 

 intcgraies 



/* cos [t — a. ) X d X /^ i\n{i — a.)x d .x 



sia t X I H-.V* ' .y 



cos è j 



d'acquérir des valeurs différentes, suivant que l'on suppose 

 CL nul ou très-petit, ne tient nullement à cette circonstance 

 particulière, que la fonction sous le signe /, dans chacune 

 des intégrales dont il s'agit, passe par l'infini entre les limites 

 de l'intégration. En effet, la même propriété appartient aussi 

 à d'autres intégrales définies pour lesquelles cette circonstance 

 n'a plus lieu. Telles sont, par exemple, les deux suivantes. 



1 a. X 



dx 



/sin I 

 X r x — o , 



/x sin ût .V L •'^ = 

 . dx 



qui , pour de très-petites valeurs de et , se réduisent, en vertu 

 des méthodes connues, à —, et qui néanmoins s'évanouissent, 

 lorsqu'on y suppose a, :r= o. Telle est encore l'intégrale 



/sin{.7-Ha);v.cos(-i — a] x rA=o, 

 .xdx 

 1 -H J' L »' = CC , 



qui , pour de très -petites valeurs de ce , se réduit à 



/sin 1. a X -\~ sin 2a. v xdx "^ I -^ a ^ a \ ^/ 1 a \ 



 =— f --+-< - =— £• H-'. 



2 I -4-j'= 4 V ' 4 ^ ' 



et qui, pour une valeur nulle de a. , est simplement égale 



xdx 



/sin <7 AT cos a X \ f* 

 X dx = — / sin 2 iz ; 

 \ -\-x' zJ 



Quatrième Observation. Il suit de ce qui précède, que 

 ia quatrième des équations [g] se trouve vérifiée par les 



