SUR LES INTÉGRALES DEFINIES. 797 



et par suite , 



* cos ( a d: tt ) AT d X 



sin ^ jr 1 H- a;' 



d X r' sin a A- x dx 



f 



/x cos ax dx /- sin .1 i- xdx 

 . ± / sin «a; 

 sin / jr I -H »■ ' J i\nb X i -H a; ' 



Si , dans cette dernière équation , on suppose 



<;2 i^ ( 2 « -+- I ) i , 

 ;/ étant un nombre entier, on aura 



/ 



X cos a X d X "^ e 



sin ^ .ï \ -\-x' * — '■ 



e — e 



Cela posé, pour vérifier les résultats trouvés ci-dessus, il 

 suffira-de faire voir qu'on a, entre les limites x ■=: o, .vrzz oc , 



et, en effet, soit zn -4- i r=^, on aura 



sin ( 2 « -t- i ) h X xdx 



sin ^ AT \ -\- x' 



sin { 2 " -I- 1 ) ^ a; an k b x 



sin b X sin b x 



= k  [ixnbxy -t- -^— (siniS AT)" — &c. 



r . 1 . ; I.I.5.4.J 



De plus, on a, en général, 



cos m b X — — cos (m — \]b > 

 il 



( sin < A- ) rr: ± _ 



2 m [ im — i ). , . [m -i~ \) 



im — I 



T . 



) 



on a aussi ( *. étant très-petit ) , 



/.V./.V /■ , , xdx 

 sin ax cos mbx = o , / sin a.ï cos ( m — i ) tx — = c 

 i-+-A-= J iH-.r' 



/xdx 

 sin ce X 

 1 -t- A'" 



