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Donc 



X d X -a z m{z m — 1 ) ( m -(- 1 ) 



/ sin oix ( sin h) 



V' . » .'î • • 



et par suite , 



sin ( 2 «-+-[) jf jr X d X 



/sin ( 2 « -+- 

 imcLx — - 

 sin^ > 



^TL^~ ' , . 2 . 5 .  2= "*" ,.a 1.Î.5.4-Î i" -I 



Si , dans le second membre de l'équation ( -4/ ), on fait succes- 

 sivement A = I , /; =: 2 , A ^ 3 , &c , on trouvera 



qu'il se réduit toujours , comme cela doit être, à 



On a donc, en général, k étant un nombre impair, 



2 k[k' — ,) . 4-3 k{k' — i) (^' — 9) 



(a) 



, 1 . 2 . j 2' 1.2 1.2.3.4 



^ . 5 -4 A(A' _ ,) (;i' — 9) (^' — 25) , 

 ..2.3 1.2.3.4.5.6.7 2« 



Cette dernière équation, à laquelle on est nécessairement 

 conduit par l'analyse précédente , peut être facilement véri- 

 fiée dans les divers cas particuliers; mais il serait peut-être 

 difficile de la démontrer directement. 



On peut remarquer que' le dernier terme de la série, qui 

 iorme le premier membre de l'équation («), est égal au 

 terme moyen du coefficient de la puissance k — i du binôme. 

 De plus , si k est un nor?ibre premier, tous les termes' de la 

 série en question, à l'e-xceptioii du dernier, seront divisibles 

 par k. Cela posé, il suit de l'équation (o)), que, si l'on désigne 

 par k un nombre premier supérieur a 2 , le coefficient du 

 terme moyen, dans la puissance k — i du binôme, étant 



