10?i DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



ces derniers temps, que l'arc de la courbe connue sous le nom 

 d^ ellipse de Cassini, et dont la lemniscate n'est qu'un cas particu- 

 lier, se présente sous la forme d'une fonction abélienne, déconi- 

 posable en une somme ou une différence de deux fonctions ellip- 

 tiques complémentaires de première espèce, et même que cet 

 arc est exprimable à l'aide d'une simple fonction elliptique, si 

 l'une de ses extrémités est convenablement choisie, l'autre ayant 

 été prise arbitrairement ; mais cette propriété est également loin 

 d'être identique à celle de la lemniscate, qui restait toujours la 

 seule courbe algébrique connue dont les coordonnées rectangu- 

 laires X et y satisfissent à une équation de la forme 



dx' -\- dy' = 



- |S.- -+- yz' -t- Sz' -t- £.-' 



La première idée des recherches nouvelles auxquelles je me 

 suis hvré, et que je publie aujourd'hui, m'a été suggérée par une 

 propriété de la lemniscate, à laquelle je n'avais pas d'abord at- 

 taché une grande importance, et qui consiste en ce que les coor- 

 données rectangulaires de la courbe sont, par un choix conve- 

 nable de la variable indépendante, exprimables en fonction ra- 

 tionnelle de l'amplitude de la fonction elliptique qui représente 

 l'arc ; on le vérifie aisément, car l'équation 



(a;'-f-/)' — 2a'{x'-y') = o, 

 qui appartient à la lemniscate, est satisfaite en posant 



X = ay/2- '-, y = a\J2'- -: 



d'où l'on déduit aisément 



Vctx' -f- d/ = 2a 



V.-K." 



