ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 105 



C'est ainsi que j'ai été conduit à étudier les différentes solutions 

 que peut admettre l'équation indéterminée 



dx' + (// = Zdz\ 



en prenant pour x, j et Z des fonctions réelles et rationnelles 

 de z, dont la dernière ait une forme donnée. 



Ce mémoire se composera de rjuatre parties. Nous étudierons 

 dans la première la forme générale des fonctions x et y, réelles 

 et rationnelles, susceptibles de vérifier la précédente équation; 

 mais, n'ayant spécialement en vue que la représentation des 

 fonctions elliptiques de première espèce, nous n'aborderons les 

 détails de la solution que dans l'hypothèse où Z est l'inverse 

 d'un polynôme du quatrième degré en z, et encore supposerons- 

 nous, ce qui, du reste, semble le cas le plus important, que x 

 et y ne puissent devenir infinis sans que Z le soit lui-même. 

 Ces solutions de l'équation jDrécédente une fois trouvées, on con- 

 naîtra, parmi les courbes algébriques dont l'arc s'exprime par une 

 fonction elliptique de première espèce, quelles sont celles dont 

 les coordonnées rectangulaires x et y sont des fonctions ration- 

 nelles de l'amplitude z, qui ne peuvent devenir infinies sans que 



sjdx^ + dy^ le soit. On verra que le nombre de ces courbes, que 

 je nommerai courbes elliptiques, est illimité; elles se distinguent 

 naturellement en une infinité de classes, et chaque classe com- 

 prend une infinité de courbes individuelles. L'existence des 

 courbes de la m'""' classe dépend de ce que les racines ? d'une 

 certaine équation, 



n„(n = o 



de degré m , sont toutes réelles et comprises entre o et i . Cette 

 équation a pour racines les carrés des modules des fonctions ellip- 

 tiques qui représentent les arcs des courbes de la m'""' classe : elle 

 contient dans ses différents termes un nombre indéterminé n, 

 que notre analyse suppose essentiellement entier; mais M. Liou- 

 i 1. .i 



