ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 111 



déplacement insignifiant de l'origine des coordonnées. En dési- 

 gnant par s et §' les dérivées de s et g>, on aura, en différentiant 

 l'équation précédente et en mettant à la place de dx -h idy sa 

 valeur. 



Xr 



? 



>' — '§') — e (^ — '?) = ce"' z'" jj; 



Gela posé , si 2 — Zç, désigne un facteur linéaire qui divise 6 fois 

 le polynôme -, et si l'on prend pour e la valeur de - correspon- 

 dante k z = Zo, l'équation précédente montre que s — ef sera 

 divisible 6 -t- 2 fois par z — Zg-, on pomra donc poser 



• •; eg = (z Zo) S,, 



et, par suite, 



X -h- ly = — — 



Ce dernier théorème nous sera utile dans la suite de ce mé- 

 moire. 



IL 



La marche que nous venons de suivre s'applique sans difli- 

 culté à la détermination des formes des solutions rationnelles et 

 réelles que peut admettre l'équation plus générale 



(i) dx' -\~ dy' = Zdz' 



M 



où Z désigne une fraction quelconque irréductible —, dont les 



deux termes sont des polynômes de degrés donnés. 



On voit d'abord que tout facteur réel de M ou de P doit s'y 



trouver un nombre pair de fois , puisqu'il est évident que la frac- 



M 

 tion - ne peut changer de signe; nous désignerons donc par M' 



