ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 117 



tiendra que des puissances paires de z; mais nous admettrons de 

 préférence le second mode de transformation. Nous supposerons 

 donc que, l'équation (i) ayant été ainsi préparée, on ait 



P= {z' — a') [z' — a.'), 



a et a étant des quantités essentiellement imaginaires et con- 

 juguées. 



Nous ferons successivement les deux décompositions possibles 

 du polynôme P en deux facteurs conjugués; mais nous suppose- 

 rons, dans les dftux cas, que les polynômes arbitraires r et g ne 

 contiennent que les facteurs linéaires qui se trouvent respective- 

 ment dans p et «r, c'est-à-dire que les fonctions a; et j ne puissent 

 contenir en dénominateur que les facteurs de P. 



Soient donc d'abord 



p = z--a\ r=(z — a)'"(z + a)", l~{z-a)'^-' {z + a)"-', > 



«r = Z*-o\ g={z — a)"'(z-f a)", > = (2 -a)"— ' (z-+-a)"-'; 



les équations (1) et (2) deviennent 



c\h'- 



(3) '^-'+^/-^(7-a=)(._„^)- 



/t\ ai r [^ — a)" [z -\- a)" , 



et il ne reste plus qu'à trouver la condition qui doit exister entre 

 les entiers m et n et les quantités imaginaires conjuguées a et a, 

 pour que l'intégrale de l'équation (A) soit algébrique : car, cette 

 condition étant remplie, l'équation (4) fera connaître les solutions 

 réelles et rationnelles de l'équation (3) que nous cherchons. 

 Posons, pour abréger, 



.0,)"*' 



