120 DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



on aura 



, , (ct-+-a)"-'"a"'_ 



(5) ?-(«)= , .-.:,,.^. n-- 



On ne peut avoir a-\-a.:=^ o, car autrement les facteurs linéaires 

 du polynôme [z- — ci?) [z^ — a-) ne seraient pas inégaux, comme 

 nous l'avons supposé; l'équation (p"'[a) = o se réduira donc à 



n„=o. 9 



Il est aisé de reconnaître que cette équation est symétrique par 

 rapport aux quantités a et a, et c'est là l'une des circonstances 

 qui font que l'équation (4) peut fournir des solutions réelles et 

 rationnelles de l'équation (3). 



La fonction n„, est, en outre, homogène et du degré o par rap- 

 port aux quantités « et a; en sorte que si l'on pose 



elle se réduira à un polynôme entier par rapport à Ç, et que l'on 

 reconnaît aisément être du degré m : nous représenterons indif- 

 féremment ce polynôme par n„, et n„ (Ç). Les racines de l'équa- 

 tion 



(6) n,„(?) = o. 



une fois trouvées, les quantités a et a, auxquelles on peut suppo- 

 ser im module arbitraire, par un changement facile de variables, 

 dans les équations (3) et (/i), seront déterminées par l'équation 



à a^ 



Mais, pour que les quantités a et a soient effectivement imagmaires 

 et conjuguées, il faut encore que Ç soit réelle et comprise entre 

 o et 1 ; c'est ce qui a toujours lieu, ainsi que nous le démontre- 

 rons dans la seconde partie de ce mémoire. 



