ET []LTI\A-ELLIPTIQUES. 121 



Le polynôme n„(Ç) contienl dans ses différents termes un 

 nombre entier indéterminé n, et l'on verra que les m racines de 

 l'équation (6) ne cessent pas d'être réelles et comprises entre o 

 et I , si l'on suppose n un nombre positif quelconque. Toutefois, 

 cette extension ne se rapporte pas directement à l'objet actuel de 

 nos recberches. 



La quantité que nous avons désignée par Ç est précisément le 

 carré du module de la transcendante elliptique 



/: 



clz 



ramenée à la l'orme ordinaire. Si en effet on pose j =z v a « tang -■ 

 l'intégrale précédente se réduit à 



2 y ace J \/ i — ?sln- 



Pour une même valeur de m , et à cause de l'indétermination de 

 l'entier n, on aura une infinité d'équations 



n„, (q=:0; 



en outre, à chaque racine Ç de l'une de ces équations correspon- 

 dra une courbe algébrique dont l'arc sera exprimé par une fonc- 

 tion elliptique, de module \/Ç, et dont les coordonnées rectan- 

 gulaires seront fournies par l'équation (/i) : nous considérerons 

 toutes ces courbes comme formant une même classe , et nous les 

 appellerons courbes eUiptiques de la m'"" classe. On voit que le 

 nombre de ces classes sera illimité. 



Revenons maintenant à l'équation (i), dans laquelle nous sup- 

 poserons toujours 



P:=(2-^ — «2) (jS — a-i). 



Considérons le second mode de décomposition du polynôme P 



II- 



