ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 123 



de degré m, où l'on aura toujours 



et qui exprimera la condition pour que l'intégrale de l'équation 

 (Il bis) soit algébrique. 



Il sera démontré, dans la seconde partie du présent mémoire, 

 que l'équatiou (7) a toutes ses racines réelles, mais plus grandes 

 que 1 ; en sorte que les valeurs qui en résultent pour a et a sont 

 réelles, et, par conséquent, ne peuvent nous convenir pour l'objet 

 que nous nous proposons. 



DEUXIÈME PARTIE. 



Nous allons nous occuper avec détail, dans cette seconde partie, 

 des équations 



n„, (q=-o, 



qui ont pour racines les carrés des modules des transcendantes 

 qui représentent généralement les arcs des courbes elliptiques. 

 L'étude de ces fonctions n„, (Ç), auxcjuelles nous avons été con- 

 duit, présente un grand intérêt, indépendamment de leur appli- 

 cation à la solution du problème tjue nous nous sommes pro- 

 posé. On verra, par exemple, qu'elles comprennent comme cas 

 particulier les fonctions si remarquables qui résultent du déve- 

 loppement de la quantité 



(1— -2 aÇ -H a "-)""% 



fonctions cpii ont été étudiées pour la première fois par Legendre, 

 et qui ont été introduites avec tant de succès dans la Mécanique 

 céleste. 



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