12/1 DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



La forme que l'on peut donner à l'équation 



n„ (ç) = G- 



est assez simple pour qu'on puisse reconnaître immédiatement 

 la nature de ses racines, ce qui est essentiel dans l'analyse où 

 nous en avons fait usage. 



o 



Rappelons d'-abord en pou de mots la formation des poly- 

 nômes n,„ : soient 



$ ! ^) ^ [f^umi^^iiL ,»,-) ^ .^■.ri--^..r 



OÙ a et a désignent des (juaiitités ijuelconques , m et n des nombres 

 entiers positifs; on démontre aisément l'identité 



r {a) _ r (_c) 



1.2... m 



en désignant par <?""(z) el 4'" [z) les dérivées de <p(^-) et ^!^{z) de 

 l'ordre m et de l'ordre n respectivement. D'où il suit que les 

 deux équations 



(P"'(a)= o, ,i"{ — a)= o 



rentrent l'une dans l'autre. 



En second lieu, en supposant, ce qui est évidenmient permis, 

 que m ne .soit pas supérieur à n, on trouve, en posant 



4 atx 



que <p"'(a) a la forme suivante : 



n„, (Ç) étant un polynôme entier du degré m par rapport a K. 



Il importe de remarquer que celle valeur de (fi"(a) peut élre conservée lors même 

 que m nesl pas inférieur ou f.js] ;, :, r'esl seulement pour fixer les idées que nous laison? 

 cette hypotbèse. 



