128 DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



Dans celle équation, les quaulités N el P doivenl être rempla- 

 cées par leurs valeurs fournies par la seconde et la troisième des 

 équations [/^). 



Voici donc une relation linéaire entre quatre fonctions consé- 

 cutives II„,, n,„^,, n„,^,, n,„^,; mais comme ces fonctions sont 

 symélriques en a et a, on pourra former une équation qui' nVn 

 renferme que trois. 



L'équation (5) ne cessera pas d'avoir heu, si Ton chanj'e les 

 lettres a et a l'une en l'autre, et si Ton désigne par N' et P' ce 

 que deviennent N et P; par suite de ce changement, on aura 



(6) 8 a a^ n„,^,, H- 2 a N' n„^, H- (a -}- a) P' H,^, 



— (ni-f-2) (m -t-i)2 {a-~i-ay n,„ = o, 



en sorte qu'on pourra, entre les équations (5) et (6), éliminer a 

 volonté, soitn„,, soitll^^,. On trouve ainsi, en remplaçant par- 



(a-+-a)- 



tout  par Ç, 



.1 a a '■ 



et 



n„.^,= [(n + m + 2) Ç_(n - ,„_ , )] n„^,_ {m-^ i )' Ç n,„. 



On voit que la première de ces équations se déduit bien de la 

 seconde par le changement de m en m H- i ; ce qui donne une 

 vérification parfaite des calculs assez pénibles que nous venon.s 

 d'exécuter. 



V. 



Si, dans la dernière des équations précédentes, on change m 

 en m — 2 , on aura 



(7) n„. = [ (n +• /n) ç -(«-/« + 1) ] n„.,-(,«- i)=çn„,.,. 



r 



C'est l'équation qui nous servira de point de départ dans l'élude 

 des fonctions n„, : elle peut servir à définir ces fonctions, caries 



