130 DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



dans n„ , sera 



r (m) r (n-l-m— /)-t-i ) 



H — m -f-i — 



* ' r (n — p 



•(„_p_t-2)r(m— p-Ki) r (p) 



r (m) r (n-t-m — p) , F (m— . ) f («+ m-/)) 



r(n— p-(-.)r(m— p)r(pH-.) ^ ' r(n_p-^j) r(m— p)r(p) 



où , d'après la définition des F, 



r (m-(-i) r (ii-+-m — /J-t-i) 



r („_p-4-,) r (m—p-\-i] r (p-i-i) ' 



ce qui démontre que la valeur de 11^ est effectivement donnée 

 par l'équation (8). 



VL 



On peut, d'après cela, donner à la fonction n„, une nouvelle 

 forme très-remarquable; <Tn a en effet, par la formule ordinaire 

 du binôme, 



^ ^^ ^1 ^-^^ 1 r(m— p-Hi)r(p-Hi) 



et, en différentiant m fois, 



dC ^%} ^' r(«-p-+-i)r(n.-p-t-.)r(p-f-.) ^ • 



en comparant cette équation à l'équation (8), on conclut pour 

 notre fonction n„, la valeur suivante, très-simple et très-remar- 

 quable : 



(9) n„.(?)=:^— ^ — — . 



En particulier, si n„ désigne la valeur de n„ pour m = n , on 

 aura 



"n— jç, . 



