ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 131 



et si l'on fait 



y , X -+- 1 



il viendra 



2 dx 



ce qui montre que notre fonction particulière H,,, divisée par 

 1 . 2 ...» , n'est autre que la fonction X„ de Legendre , qui repré- 



sente le coefficient de a" dans le développement de ( i —2ax+a^) '. 



VII. 



On sait que la fonction n„ satisfait à une équation différentielle 

 du second ordre, qui joue un rôle important dans la théorie de 

 ces fonctions; nous allons montrer que l'équation (7), qui nous a 

 conduit à fexpression de la fonction plus générale n„„ peut aisé- 

 ment se transformer en une équation qui ne renferme que la 

 seule fonction n,„ avec ses deux premières dérivées. Soient 



«t(Ç) = Ç"(Ç — 1)-, 

 et «, ce que devient «r quand on y change m en m -|- 1 ; on aura 



d'où 



On a d'ailleurs 



— - = ?"-"• n 





çn-m-i n 



m-»-i' 



