ET ULTRA ELLIPTIQUES. 133 



Vlli. 



Pour que Ç puisse exprimer, comme nous l'avons supposé ilaus 

 la première partie de ce mémoire, la valeur d'une quantité de la 



„ la -h xV , , . . . . I i r 



terme , a et a étant des uiiaginaires conjuguées, li tant et 



il suffît que K soit réelle, positive et < i. Nous démontrerons 

 donc un théorème important pour nous, en faisant voir cpie les 

 m racines de l'équation 



(où nous supposerons toujours» au moins égal à m) sont réelles; 

 et comprises entre o et i . Or, pour y parvenir, considérons, à 

 l'exemple de M. Sturm, une suite de m fonctions FI, savoir: 



n„, n,_,,..., n,,n,,n„. 



La dernière de ces fonctions est constante et ne peut cliaiigei 

 de signe quand on fait varier Ç; en outre, l'équation (7) montre 

 (}ue si l'on fait varier K depuis zéro jusqu'à une valeur positive 

 (juelconque, deux fonctions II consécutives ne peuvent s'annuler 

 en même temps, etque si l'une d'elles s'annule, celle qui la précède 

 et celle qui la suit sont de signes contraires: d'où il résulte clai- 

 rement que le nombre des variations que présente la suite des 

 signes des fonctions H ne peut s'altérer que quand la première 

 change de signe, et par conséquent s'annule. 



Cela posé, l'équation (7) montre que, pour Ç= o, deux fonc- 

 tions n consécutives sont toujours de signes contraires, et, par 

 conséquent, que la suite des signes des m fonctions que nous 

 considérons présente m variations. 



En second lieu, l'équation (7) ou l'équation (8) donne aisément 

 pour Ç = 1 , 



n^ i:^ I , n 1 3z: 1 , n j = i . a , . . . , n^ = i . 2. . . m, 



