13S DES FONCTIONS ELLIPTIQliES 



ce qui montre que la suite des signes des fonctions II ne pré- 

 sente alors aucune variation. 



Il résulte de là que quand Ç varie de o à i , la suite des signes 

 des fonctions n perd m variations, et, par conséquent, que l'é- 



n.(?) = o 



a ses m racines comprises entre o et i '. 



On voit encore que la fonction n„,_, joue ici le même rôle que 

 la dérivée de !!„,; d'où il résulte que deux racines de n„= o 

 comprennent une racine de !!„_, = o, et n'en comprennent 

 qu'une, ce qui peut servir au calcul numérique des racines. 



Observons enfin que si l'on définit la fonction II,,, par l'équa- 

 tion (7), rien ne suppose plus dans notre analyse que n soit un 

 nombre entier; tous les résultats précédents subsistent donc si n 

 est un nombre fractionnaire ou même incommensurable. 



IX. 



Nous ferons ici une remarque curieuse sur l'équation particu- 

 lière 



n„ (ç) == o, 



où les deux arguments m etn sont égaux. On voit, d'après la forme 

 de n„ donnée au paragraphe IV, que cette équation ne changera 

 pas, si l'on change Ç en 1 — Ç; d'où il résuhe que les modules 

 des fonctions elliptiques correspondantes à l'équation 



n„ = o 



seront deux à deux complémentaires. On voit encore que si n est 

 impair, Féquation précédente aura toujours pour racine |, et 



' On arriverait au même résultat en appliquant m fois de suite le théorème de Rolle à 

 la fonction Ç" (Ç— 1)", dont la m""" dérivée fournit l'expression de n„, et dont les racines 

 sont connues. 



