ET ULïHA-Er.LIPTIQUES. 130 

 on trouve 



dx -r- idy = c/' r - (« -H a) - « (« - a) 1 '^-""^ -*-"'" dz , 



' dx - idj = ce"" [~{a H- a) ^ n {a -a)] _'_~;' ''^^U ^- ' 



Cela posé, si r désigne le rayon vecteur ^ x^-\-y^, ds la dilîé- 



rentielle de l'arc \/dx'^-\-dy-, on aura, en vertu des équations (i), 



(2) et (3), 



(5) ds=^-2 c\J n aa. 





\/(l-t-«) (^H-oi) (-- — 0) (--- 



Remarquons maintenant que, les équations (3) se déduisant des 

 équations (2) par la difîérentiation, aucun des résultats précé- 

 dents n'est modifié , si l'on suppose n fractionnaire ou incommen- 

 surable '. Les courbes définies par les équations (2) ne cesseront 

 pas d'être algébriques, si n est commensurable ; seulement leurs 

 coordonnées rectangulaires ne seront plus exprimables en fonc- 

 tion rationnelle de l'amplitude z. Quoi qu'il en soit, nous suppo- 

 serons désormais que « peut être fractionnaire, en sorte que les 

 courbes elliptiques de la première classe pourront représenter 

 toutes les fonctions elliptiques de première espèce , qui ont pour 

 module la racine carrée d'un nombre commensurable quel- 

 conque. 



IL 



On obtient aisément l'équation en r et s des courbes dont nous 

 nous occupons ; si l'on élimine z et dz entre les équations (5) [k) 

 et l'équation qu'on obtient en différentiant (4), on trouve très- 

 aisément, en prenant pour unité le paramèti'e c, 



(6) ds=2\}Ti[n-h\) 



dr 



\J — r''-f- 2 ( 2 n-+- ij / - — i 

 * Je dois cette remarque à mon iiiustre ami M. Liouvilie. 



