140 DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



ce qui donne ce théorème remarquable : L'arc des courbes de pre- 

 mière classe est une fonction elliptique du rayon vecteur. 



Si 6 désigne la seconde coordonnée polaire, on aura pour l'é- 

 quation difTérentielle de ces courbes, 



\Jdr'-+-r^d6^ = 2\/n{n " ^ ''' 



(7) d6 = 



\/ — r^ -i- 2 ( 2 n H- 1 ) r^ — i 

 OÙ 



f = ( 2 H -t- 1 ) ''>■ 



\/ — r»-+-2(2n-|-i)r- — i '' 



on tire de là 



I \ 



y — r* -f-2 [2 n -t-i) f^ — 1 



d'où 



I |H rfô- = — I \j — r*-|-2 (2n-|-i)r2 — i-h constante , 



ce qui montre que les courbes de la première classe sont toutes car- 

 rables. 



L'équation (7) fait connaître la valeur de — - — en fonction de r; 



on en déduit aisément, par la différentiation , la valeur du rayon 

 de courbure R, qui est 



T> 2rv'n(n^ 



ir' — [2n-+-i) 



Dans le cas de n = i , qui est précisément le cas de la lemnisrate, 

 on a 



dr 



ds= 2 \/z 



V/ — r» 1- 6r» — 1 



r désigne ici, comme on le verra plus loin, le rayon vecteur issu 



