ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 141 



de i'un des foyers : on sait que si r' désigne le rayon vecteur 

 mené du centre , on a plus simplement 



as = ; 



\J 1 — r'" 



mais ces deux formes se déduisent aisément l'une de l'autre par 

 la relation qui existe entre r et r'. 



III. 



On obtiendrait facilement l'équation sous forme finie des 

 courbes de la première classe, en éliminant z entre l'équation 

 {!{.) et l'une des équations (i); mais il est encore plus simple de 

 la déduire de l'équation (7) par l'intégration. 



On a, par l'équation (7), 



itr 



de=z "^" — (2n-|-i) 



\/— r> + 2 (211-1-1)1^— 1 \J—r''-]-ii(in-i->)r'—i 



OÙ Ton doit avoir soin de prendre partout le radical avec le même 

 signe ; il est clair que , pour que le radical soit réel , il faut que r- 



et — soient compris l'un et l'autre entre 



2n ~i- i — 2 yn (n-+- 1) et 2 n H~ 1 H- 2 \n (rt -f- 1). 

 On pourra donc poser 



l r'- = 2 n -i- 1 -t- 2 y n (n + I ) cos 2 >v , 

 I — =: 2n H- 1 -(- 2 y/n (n -t- 1) cos 2 (/, 



> et f.t désignant deux angles, qu'on pourra évidemment ne faire 



