ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 143 



d'où 



cos 1 fx — i sin 2 f/ =^ 



(OS 2 > — i sin 2 > = 



2 r' yn (n-f-i) 

 [r'-—{2n -+- 1 )] — i A 



2 y/n (n -t- 1 



et par suite, en multipliant, 



COS 2 (>-(-f/i ! Sin 2 (X-{-f/^ == — '- 



11 -t- 1 r' 



Enfin, en extrayant la racine carrée des deux membres de cette 

 équation, et multipliant ensuite de part et d'autre par i, on 

 aura 



r-'H- l) — 1 A 



sin (X -(- fi) -)- i cos (A -ht^] -= 



D'après cela, l'équation (g) deviendra 



, \ û ,   fj [(i-'--H i) — iA] [i— (2 n-+- i)i» — , A]" 



(lo COS 6 -i- i sm 6 = — i 



11  11-1-1 



Telle est l'équation générale des courbes de la première classe 

 en coordonnées polaires. Si x et y désignent les coordonnées 

 rectangulaires, on aura, en multipliant l'équation (lo) par r, 



. [(r'-t-i) — iA] [i— (2 m-l) r»— ; A]" 



2 + ' n ^ {(I -)- 1 ) ~~^' r"" 



Dans le cas de « entier, on en déduit pour a; et j des valeurs 

 de la forme 



F et/ désignant des fonctions entières et rationnelles, la pre- 

 mière du degré n -j- i , et la seconde du degré n. 



On peut conclure de ce qui précède un théorème assez remar- 

 quable ; car, si l'on pose 



