

146 DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



mais il est aisé de vérifier que ces deux modules sont liés Tiin à 



l'autre par la relation 



2V/T 



- k -M 



en sorte qu'on peut passer de l'un à l'autre par la transformation 

 connue. 



V. 



Si l'on fait u = i dans l'équation (lo), on trouve 



. . . — (r»H- 4 rS— i)-t-i(r»— 1)\/— r'-t-Gr'- 

 COS 6-\- l SU1^=: ^ , , 



d'où 



— (f'-Hir^— i) . . (rî_.)v/— r'-t-lir^- 

 COS d = > sm " — 



Ces équations appartiennent toutes deux à la courbe de pre- 

 mière classe qui correspond à n = i ; cette courbe n'est autre que 

 la lemniscate. En effet, la première des équations qui précèdent 

 peut se mettre sous la forme 



r^ (r- -h 4 r cos e -f- /i) = I , 



ou 



rr' == 1 , 



en désignant par r le rayon vecteur issu du point situé sur l'axe 

 polaire à une distance de l'origine égale à 2 : ce qui démontre 

 la proposition énoncée. 



Si, en second lieu, on fait n =2 dans l'équation (lo), on aura 



. . , (4i"-+-27r' — i2r=-Hi)-»-i( — 4r'-t-7'=— ■) \J — r'^-^ior^—i 



cos 6 H- 1 sm e =;= :zi 



d'où 



4' -t- 171' — i2r'-(- 1 . ( — .'ir'-t-7'' — 1)\/ — r'-i-ior* — 1 



COS 6 = — , sin S= ^z  



