ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 147 



L'une quelconque de ces équations apparlient à la courbe de 



première classe qui correspond à n = 2 : de la première on tire 



/•■- — 3 V/Ir cos e -t- ^ = -, 



en sorte que si r' désigne le rayon vecteur issu du point situé sur 



l'axe polaire à une distance de l'origine égale à , l'équation 



de cette courbe entre les rayons r' et r sera 



L'équation qui fournit cos 6 ou sin 6 en fonction de r permet 

 de construire assez facilement cette courbe dont l'arc s'exprime 



par la fonction elliptique de module v/— , et qui est du sixième 



degré en coordonnées rectangulaires. 



On a vu, au paragraphe IV, que si n est entier, l'équation géné- 

 rale de nos courbes de première classe est du degré 2 (n -)- 1), en 

 sorte que la courbe particulière dont nous venons de parler est la 

 plus simple après la lemniscate; mais si l'on donne à n une vaïéur 



fractionnaire —, le degré de l'équation générale sera 2{p -\- q), 

 et ce nombre se réduira à 6 pour p == 1 et q = 2 : on aura ainsi 

 une deuxième courbe du sixième degré, tout aussi simple que la 

 première. Dans cette hypothèse, l'équation (1 2) donne 



cos 2 e H- « sm 2 15 = —^ ' * '^ 



d'où 



r' H- 6 H — 2 : r' -^- 2 r'- — 2) v/ — r» -t- i H - 



cos 2 6 = ' s,in2 — 



3r«\/3 3r»v'3 



l'une ou l'autre de ces équations représente la courbe de première 

 classe qui correspond à n = -. 



On voit, en résumé, que dans la première classe la lemniscate 



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