KT ULTRA-ELLIPTIQUES. 151 



et prenons à la place de z une variable a, telle que 



2 = \ja a ;;^^ ; 



IH- V/ 1 — u' 



on pourra écrire ainsi les valeurs de r" et de ih: 



r =^ c , 



i\J aa \/> — u' \J\ — W 



on peut prendre pour unité la quantité — ^, et, en supposant 

 que s s'annule en même temps que u, on aura 



= ( —zi^zi — ' d ou « 



sni am s. 



Il s'ensuit que l'équation des courbes de la seconde classe entre 

 les coordonnées r et s sera 



, . (i — Xsinams) (i H- v/Ç sin am s) 

 (17) r- :=2 c" 



(i — vÇsin ams) 



Les constantes c et > qui restent dans cette équation peuvent 



s'exprimer par le module y/Ç de la fonction elliptique sin ams; 

 on trouve 



, !!(.-g)(>-»-t5g-3g') 



(9-+-34Ç-19? — i2Ç') + (9-i-7Ç— i^Dv/'-t-eï-^î' 

 et la courbe représentée par l'équation ( 1 7) sera algébrique si la 

 quantité \/? est telle, que 



i-t-3gzps/i-i-6g-Hr 



soit un nombre commensurable quelconque n. 



