ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 153 



Si l'on fait fi = o, les équations (18) donnent 



X = c cosipysin 2<p, 



y ^ c sin «py/sin 2<p. ' 



Ce sont les équations de la lemniscate ordinaii-e. 



Si l'on fait (x = 1 dans les équations (18), on obtiendra les 

 équations de la seconde lemniscate, savoir: 



X = c (cos 5(p 4- 2 cosÇi) ysin 2(p, 



y = c (sin 5 (? + 2 sin <p ) y sin 2 (p. 



En général, quand on aura les coordonnées de la t^""" lemniscate, 

 on aura aisément celles de la (f/ + 1) """ à l'aide des formules de 

 réduction 



/COs(4fH-3)(? , -; 2„ /.os(4p — 1)9 

 — dç = cos 4(^ + I ? Vsin 2<P -I d(p, 

 \/sin2 2^ -ht 2,1-1-. ^ V/sin '(2 



V/sin2ip 2fi-l-i 2,1-1-. 7 V/sin )(? 



a(ifi-f-3)(p 1 . ,, , . /-^ 2C ,'sin(. 



, c?<P = sm[Ii!x+ i)<p\/sm2<p + ——  — r 



QUATRIEME PARTIE. 



THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES COURBES E1.L1FT1QUE> 

 DE LA PREMIÈRE CLASSE. 



L'étude approfondie des résultats auxquels nous sommes par- 

 venus dans la troisième partie de ce travail m'a conduit à deux 

 propriétés géométriques remarquables, communes à toutes les 

 courbes elliptiques de la première classe, et qui fournissent pour 

 ces courbes un mode uniforme de génération d'une extrême élé- 

 gance. 



