)5/» DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



Ces propriétés peuvent servir à définir les courbes elliptiques 



(le la première classe, dont la tiiéorie devicMuIra d(';s lors entiè- 



renienl indépendante des ronsidérations analvlicpies qui me les 



ont lait découvrir. 



A ce nouveau point de vue où je nu; place, je commence par 



démontrer, pour la lemniscate, les deux propriétés dont je viens 



de parler, et la généralisation, comme on le verra, s(^ prt'senlera 



d'elle-même. 



Théorème I. Soil r le rayon vecteur issu de l'un de> foyers d'une 



lemniscate dont la demi- distance focale est prise pour unité, et dont 



le demi-axe sera, dès lors, y 2; on pourra toujours construire un 



Irianqle dont les côtés seront respectivement r. i et \' 2\ car le rayon 



vecteur ne varie qu'entre les limites y 2 — \ et \/ 2 \ i : cela posé, 



si a désigne l'angle de ce triangle opposé au coté y 2, et (3 celui <fui 

 est opposé au côté 1 , l'angle polaire 6, que forme le rayon vecteur de 

 la lemniscate avec l'axe, sera toujours donné par l'équation 



cos 6 = cos (a 2jS). 



Remarque '. Soient O l'origine, c'est-à-dire l'un des loyers 

 de la lemniscate, et OM un rayon vecteur (pielcoiupie ; construi- 

 sons le triangle OMP, de telle sorte que 



OP r^: I et MP V 2 



(ce triangle peut être lait d'un côte ou de l'autre de OM , cela 

 importe peu en ce moment), puis imaginons qui? le point M dé- 

 crive d'un mouvement continu la lemniscate entière; le point P, 

 qu'on peut toujours supposer se mouvoir d'un mouvement con- 

 tinu, décrira deux fois la circonférence tracée de l'origine comme 

 centre, avec l'unité comme rayon. 



Corollaire. Du théorème précédent, qu'un démontre très-aisé- 

 ment, on déduit la génération suivante de la lemniscate : 



' Le lecteur est prié de laire lui-même les flaires 



