ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 155 



Soil OMP un triangle dont le sommet O est fixe, el dont les cotés 



mobiles OP et MP sont constamment égaux, l'un à i, l'autre à y 2; 

 si l'on fait varier ce Iriancjle, de telle sorte (/ue le cosinus de l'angle 

 formé par le côté variable OM avec une droite fixe soit constamment 

 égal au cosinus de l'angle MOP - - 2 OMP, le point M engendrera 

 une lemniscate dont O sera un foyer, et la droite fixe l'axe. 



Théorème II. Soit, comme précédemment , OM un rayon veileui 

 de la lemniscate, et construisons le triangle OMP de part et d'autre 

 de OM : la tangente en M à la lemniscate passera constamment par 

 le centre du cercle circonscrit à l'an de ces triangles; si, en outre, on 

 considère spécialement celui de ces triangles pour lequel cette propriété 

 a lieu, et qu'en vertu du théorème 1, on le fasse servir à la descrip- 

 tion de la lemniscate par un mouvement continu, cette propriété se 

 conservera pour toutes les positions de ce triangle. 



Remarque. Ce ihéorème donne un moyen très-simple de cons- 

 fruire la tangente en un jxiint de la courbe, car il suffira de 

 construire le triangle correspondant à ce point, et de déterminer 

 le centre du cercle circonscrit à ce triangle; mais il conduit aussi 

 à un nouveau mode de généralion pour la lemniscate. 



Théorème III. .Soit OMP un triangle dont le sommet O est fixe, 

 et dont les côtés mobiles OP et !\IP sont constamment égaux, l'un à 1 , 



l'autre à sj-i ; le sommet M décrira une lemniscate dont .sera un 

 foyer, si son déplacement infiniment petit MM' a constamment lieu 

 suivant le rayon CM du cercle circonscrit au triangle OMP. 



Remarque. Le triangle dont nous venons de parler joue, comme 

 on voit, un rôle assez important dans la théorie de la lemnis- 

 cate : aussi , je ne crois pas inutile de mentionner une dernière 

 propriété , qui consiste en ce que l'aire de ce triangle et l'aire du 

 secteur de la courbe ont la même dilTérentielle. 



IL 

 La généralisation des propriétés précédentes conduit immé- 



