ET ULTRA ELLIPTIQUES. 157 



en faisant, pour abréger, 



— 1 ilr 



A =\/ — r"H-2 (2«+ i)r' — i. 

 Cela posé, on trouve, par la diflerentiation, 



. r -+- 1 dr 



da z= - 



d^=^ 



d'où 



A r 



et, par suite, on aura pour la dillerentielle de i'ajc 

 it ds^^ i\Jii[n + \) - ' 



ce qui est bien l'équation dillerentielle des courbes elliptiques de 

 la première classe, que nous avons formée dans la troisième partie. 

 Des équations précédentes, on déduit encore les formules sui- 

 vantes qu'il convient de remarquer. 



I i do. 



' cosp 



^ ds ^=\j n+ \ 



On a d'ailleurs, en posant A = \l 



sin ^ = k sin a, 

 d'où 



d^ 



cos ^ ^ \J \ k^ sin'a; 



donc , en supposant que l'arc 5 croisse en même temps que a , on aura 



ds = y/n 



V'i — /t'sin'a 



