362 SUR LES PO.NCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



célèbres, MM. Abel et Jacobi, qui conçiirenl les premiers l'idée 

 de considérer la limite d'une intégrale elliptique comme fonction 

 de cette intégrale même, et qui, conduits par cette idée aussi 

 ingénieuse que féconde, ont créé une théorie nouvelle des fonc- 



et de là parvinrent, comme fou sait, le premier, à l'aide du théo- 

 rème de multiplication; l'autre, au moyen de son théorème de 



transformation, à la fonction inverse a; =-=sin amu, B et A 



A 



étant des fonctions de «, qui ont une valeur finie, réelle ou ima- 

 ginaire, suivant l'argument u. Les fonctions A et B avaient déjà 

 été traitées sous forme de séries infinies par M. Fourier dans sa 

 Théorie de la chaleur, et il aurait été possible que quelque géo- 

 mètre habile, ayant remarqué la double périodicité de la frac- 



n 



tion - , l'eût prise pour sujet de ses travaux , et alors sans doute il eût 



trouvé sa liaison avec l'intégrale elliptique. Depuis, M. Jacobi a 

 suivi ce chemin dans ses leçons universitaires de Kônisberg. Il y 

 parlait des fonctions A et B, et savait déduire, d'une manière très- 

 simple , de l'équation A — Bo; = o , cette autre , — = v/ 1 —x\ i —k'x'; 



et cette méthode nouvelle ne dépend en aucune manière de l'an- 

 cienne, bien que dans l'histoire de la science elle ait été précédée 

 de celle-ci. 



Pour la théorie des intégrales ultra-elliptiques ^ et à peu près 

 aussi pour la théorie des intégrales abéliennes en général , l'état 



' En suivant l'exemple de M. Jacobi, je distingue les intégrales des trois espèces d'avec les 

 fonctions elliptiques sin am u, cos am u, Aam u, et à cause de leur périodicité, je donne aux 

 dernii'res le nom de fonctions par préférence .je fais la même distinction sur les fonctions et 

 les intégrales abéliennes. 



' Comme le vaste théorème de M. Abel comprend toutes les intégrales des fonctions algé- 

 briques d'une variable, et que, d'après les remarques de M. Jacobi, il peut même être étendu 

 sur les intégrales multiples de fonctions algébriques de la forme la plus générale et d'un 

 nombre quelconque des variables, je crois plus convenable de maintenir le nom des inté- 

 grales uitra-ellipliqucs proposé par M. Legcndre, pour les intégrales des fonctions algébriques 

 de X, qui ne dépendent de celle variable que par une équation du second degré, et de garder 

 le nom d'intégrales abéliennes pour les intégrales de fonrtions algébriques quelconques. 



