DE DEUX VARIABLES ET A QUATfiE PÉUIODES. 363 

 des choses est à présent presque Je même qu'il fut pour les in- 

 tégrales elliptiques, lorsque MM. Abel et Jacobi firent leurs dé- 

 couvertes célèbres. Pour la première classe des intégrales ultra- 

 elliptiques, auxquelles je me bornerai ici, le problème d'inver- 

 sion, d'après les propositions faites par M. Jacobi, doit être énoncé 

 de la manière suivante : 



" Soit X une fonction rationnelle e( entière de x du sixième 

 « ou du cinquième degré, et nommons Y la même fonction de y; 

 " soit, de plus, 



(■) /^=nw /=i=n,w . ï :: 



(j) .et ii(.,)-i-n(j) = « n,(,r)-Kn,(,-) = ii,,: - 



« on demande de trouver en fonctions de u et «, les trois coenî- 

 » cients L, M, N, de l'équation quadratique 



(3) , L-|-Mf-^N/==:o, 



« dont X et y soient les deu.x racines. », 



Il va sans dire que pour résoudre directement la question posée 

 de cette manière, on devia partir des équations (2), lesquelles 

 donnent les arguments u et u, en fonctions des limites a; et j des 

 intégrales H (xf, H, [x) , H (y) , H, [y). 



Ce chemin serait analogue à celui qui a conduit MM. Jacobi et 

 AJael à leurs découvertes sur les fonctions elliptiques; mais il est 

 extrêmement difficile d'employer ici des méthodes semblables à 

 celles que ces géomètres y ont suivies, parce que, dans le cas plus 

 général dont nous parlons, au lieu d'ime équation à une variable, 

 il y a toujours à considérer deux équations simultanées entre 

 deux variables, dont les coefficients ne sont plus des fonctions aussi 

 simples des racines, que les coefficients d'une équation à une va- 

 riable le sont des racines de celle-ci. Ce n'est que dans un cas 

 spécial, mais très-curieux, que j'ai pu résoudre ce problème di- 

 rectement. Ce cas est celui où deux quelconques des facteurs 



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