364 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



du polynôme X sont égaux entre eux : alors les intégrales II (x), 

 n,(x), se réduisent à des intégrales elliptiques de la troisième 

 espèce, et les trois quantités L, M, N, s'expriment à l'aide des 

 formules connues des fonctions elliptiques, sans difficulté, en u 

 et (/,, dont X et y deviennent des fonctions triplement pério- 

 diques. 



J'ai donc préféré aborder la question du côté opposé, c'est-à- 

 dire de passer de l'équation quadratique (3) aux équations (2). 

 Pour que cela fût possible, il fallait savoir deviner la forme des 

 coefficients L, M, N, de l'équation (3), et j'y ai réussi, en généra- 

 lisant la série dont découlent les numérateurs et le dénominateur 

 commun des trois fonctions elliptiques sin am u, cos am u, Aam u, 

 et en me laissant guider par la forme des fonctions triplement 

 périodiques que j'avais déjà trouvées. Cette série est de la forme 



„ uni' -1- èni -(- c c _, am' -i- bm 



(4) Se = e 2e 



e étant la base du système des logarithmes népériens, a, b, c, des 

 quantités quelconques, et S signe de sommation, la somme devant 

 être étendue sur toutes les valeurs entières de m. On obtient, en 

 effet, de la série (4), en signes des Fundamenta nova de M. Ja- 

 cobi, les expressions dont les quotients sont égaux aux fonctions 



\/k sin am ( a, k) , U^ cos am ( a. A) , -^ Aam (u, /.) , si Ton met — — 

 = log<7 à la place de a et an H- (3 à la place de 6, et si l'on dé- 

 termine convenablement les constantes a, (3, c. 



Car en posant c = o, a = ^, (3 = ot, cette série prend la 

 forme de dénominateur commun : 



TtU 



e(u)=:2(— 1) (/ e " =1 — 2</cos — +27'cos-^ — etc. 

 De même, pour en obtenir le numérateur de —= Aam(a, A), 

 0(a-fK)=Sv e =*' = i + 27 cos y+ 27' cos-^-fetc. 



