366 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



où la double sommation doit être étendue sur toutes les valeurs 

 entières de m et de n, et elles ne diffèrent l'une de l'autre que 

 par les valeurs des trois quantités ^, e , t,, qui représentent des 

 expressions linéaires des arguments a et u,, tandis que les cons- 

 tantes a, j3, y, tiennent le lieu des trois modules; de plus, le 

 quotient de deux quelconques d'entre elles se trouve être une 

 fonclion de u et n, à quatre périodes. 



D'une autre manière encore on peut, par amplification de dé- 

 finition, passer de la formule [à] à la formule (5) : c'est en défi- 

 nissant la série (d) comme une somme de grandeurs exponen- 

 tielles, dont chaque terme a pour exposant la même fonction 

 de son indice entier m du second degré et de la forme la plus 

 générale am" -+- bm -^ c, et en étendant cette définition sur une 

 somme de grandeurs exponentielles à double entrée. 



Conduit par le théorème abélien sur l'addition des intégrales 

 et par les propriétés des fonctions triplement périodiques, je mis 

 trois séries de la forme (5) à la place de N, L H- a, M H- a,'N, 

 L -(- ttjM H- a,'N, a, et a,, désignant deux valeurs quelconques 

 de X, qui rendent le polynôme X égal à zéro, et l'équation qua- 

 dratique (3) étant ainsi déterminée , j'ai eu à résoudre le problème 

 suivant : 



« Étant donnée l'équation quadratique 



o = L-f-M/-f-Nr = N(< — x)[t — j), 



• dont les coefficients L, M, N, sont des fonctions de deux argu- 

  ments a et Ui, qui ont une valeur unique et finie, pour toutes 



• les valeurs finies, réelles ou imaginaires de ces arguments, et 

 " dont les deux racines x et j sont des fonctions périodiques 

 « de a et a, à quatre paires d'indices de périodes conjugués, on 



A' rp' -1 , , tin du. 



«demande d'exprimer les quotients dmerentiels parlieis — , —, 



iui du, , 



-;-, 7-, en X et Y seuls. 



dx dy •' 



La décomposition en facteurs simples exceptée, les séries (5) 



