372 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



OÙ 



P = {v + nlogqf + {v'-hn' log^)' + {v"+n" log^)' -H {v"'+n"' logqf-, 



et où la sommation doit être étendue sm- toutes les valeuis posi- 

 tives et négatives des quatre nombres entiers n, n, n, n" . 



Que l'on transforme maintenant l'expression P par les for- 

 mules ( 1 3 ) , on aura 



P = (v, + n, log7)= + (v.'+n/ logf/)' -f (r/'+n," log^)"- + (i;,"'+n;" logv)', 



où 



2n, =n-|-n +n +n, 



2«,' = n + n' — n — n", 



" f , Il ut 



2n, = n — n + n — n , 



m I II , /// 



2n, =n — n— H+n, 



et où les variables j;,, u,', u,", ii/" et y, v', v",v" dépendent les unes 

 des autres par les formules (i3) et (i/|). On voit donc que le 

 produit ^,[v)^,[v')^;[v")^,[v") ne change pas de forme, si 

 l'on met les quantités n,, n/, n,", n,"', d,, t;,', i;,", v"' aux places 

 de n, n', r", n'", i», v', v\ v". Mais ce n'est que la forme extérieure 

 de ce produit qui ne souffre point de changement par cette subs- 

 titution; car les nombres entiers 211, an', 271", 211"' sont tous les 

 quatre pairs, tandis que les nomljres 2n, , 2n,', 2n,", 2n,"' seront 

 tous les quatre à la fois ou pairs ou impairs, selon que la somme 



n -I- n' + n" -f n " le sera ; et on ne pourra pas mettre dans la 

 p 



somme Se'"'''' transformée, pour 2/î,, 2n/, 2/1/', an,"' ni quatre 

 nombres pairs ni quatre nombres impairs quelconques, mais seu- 

 lement ceux qui rendent pairs les quatre nombres 



an — n, + n^ 4- n, 4- «i , 



/ , t II III 



an = n, 4- «1 — «1 — "i , 



an T^ n, — n^ -f n, — n, , 



m I II , m 



an = n, — n, — n, -f- n, . 



