376 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



par M(y,), M'{v,), U"{v\), M"'(i;,), les mêmes fonctions de v,, v,\ v", v", 

 que M(d), M{v'), M(/), M(/') sont de v, v, v", v". 



5. 



Si l'on considère l'intégrale elliptique de la troisième espèce, 

 comme forme spéciale de finlégrale ultra-elliptique 



f 



(« + /3x) lit- 



\/x{i-x) (i-A-'x) [i-Vx) (i-fiV) ' 



qui répond au cas X = ft, le problème de l'inversion, d'après 

 les propositions établies par M. Jacobi, peut être énoncé de la 

 manière suivante : 



Etant données les équations 



(2 31 



y _ Z'^' (« + )Sx) dx ^ r""' (a+^x)dx 



I (i-X'-xJv'x. 1-*. i-fe I {i->?x).\/x.t-x.i-k^x 



a 



V = r^ [a+^'x]dx ^ r""' (c' + (3'x)<fx 



I (i-X-x) S/x.i-x. i-k-y I (i-'>rx)\/x. i-x.i-k^x 



trouver les expressions de x, et de x^ en o et v. 

 Pour rendre les formules plus simples je fais 



2a=i, 2(3=— X^, v'a;, = sin am {u,,k),± \J x, = sin am [u,,k), 

 d'où la première des équations (28) prend la forme 



U = H, -1- ttj. 



Pour déterminer d'une manière convenable les constantes a' et 

 (3' de l'autre, je me sers de la formule des Fandamenta nova: 



n(u,a) = t sin am a cos am a Aam a ( ^■"' "'"'"''' 



J , i-A' sin- am o. sin' am a 



, „ =„Z(a) + jlog'^ ,, ,. 



