DE DEUX VARIABLES ET A QUATRE PÉRIODES. 381 



voir qu'elles jouissent en effet d'une triple périodicité aux indices 

 de période conjugués. 



Les équations (27) et (28) montrent que les expressions de 

 XiXj, de 1— X,. 1—X3, de i—k' x,. t—lfx,, et de 1 — X'x,.i —'X'x.., 

 en II et v, ne changent pas de valeur, si l'on augmente 



ou u de iK et t; de o , 

 ou u de 2(K' et D de -— -, 



K 



ou « de o et D de ITT. . , j, . 



Les limites x^ et Xj des intégrales elliptiques liées, par les équa- 

 tions (28), avec les deux arguments a et f sont donc en effet des 

 fonctions triplement périodiques de ces arguments, et leur pério- 

 dicité est telle, qu'aux trois indices 2K, 2!K', o de u sont conju- 

 gués suivant le même ordre les trois indices o,-^, (TT de î>. 



K. 



D'ajjrès les recherches de M. Jacobi sur la périodicité des fonc- 

 tions inverses des intégrales ultra-elliptiques, les indices de 'a et 

 de i' doivent répondre aux valeurs que les intégrales définies 



2 r (=i-H-|3x) <lx ^ Ç (ai'-i-(3'a:) <ix 



/ \Jx. I — X. 1 — k^x. 1 — X-x. 1 — {ûx^ J \Jx. 1 - — X. 1 — Ifx. 1 — X-.t. 1 — (i* .t 



prises entre les limites — 00 et o; o et 1; 1 et — ; — et — ; 

 ^— et — -, — et 00 auront, si a devient égal à a. 



Soit x.i— x.i — A-'x.i— X=x. 1 — ft'x = (x, ^, X, ft) : M. Jacobi a 

 démontré que l'on a 



. . 1". I 



/ (A^Bj)<Jx _ r (A-4-B.r)rfj /* (,\h-Bx) 



dx 



(29) 



k' 



/ (A-+-B.T) ix _ r (A-hBx) dx f'^Jj 



Bx) dx 



— o; 



n 



