382 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



où dans la première de ces équations \{x, A, X, (x) et dans la se- 

 conde y/ — [x, k, "k, jx) doit demeurer positive pour toutes les 

 valeurs de x contenues entre les limites de l'intégration. 

 On devra donc mettre dans ces équations 



quand x<-^lim(X=fx)jy'(a;,i,>>,fi)j= (i— Vx) \Jx.i—x.i—h'Xi 

 et quanda;>-^llm(>k=fji)j \[x, k,'X,fi) [=—{ i —Vx)\x. i —x. i~k'x\ 



(30) 



en désignant par lim (X = jx) j/(X, fx) j la limite vers laquelle la 

 fonction /(X, fx) converge, si X et ft convergent vers une limite 

 donnée. 



Cela posé, la première des équations (29) fait voir, que Ton n'a 

 qu'un seul indice réel pour chacun des arguments a etv, qui pro- 



vient de fintégrale 



_„> ( r 



j l—X'T.\/X.l—X.l~h'x Ij Vl*' ^■'^' f)i 



en y mettant successivement a -f- |Sa; et a.' + jS'a; à la place de 

 A + Bx. La limite vers laquelle converge chacune de deux autres 

 intégrales contenues dans l'équation (29,1), si X — ft converge 

 vers la limite zéro est l'infini; leur différence a pourtant une li- 

 mite finie, savoir l'intégrale | '^ ; et si 



F 1 X^ X. l/.T. 1 X. ï — k^x 



A = 2a= 1, B=: 2(3 = — X% on en obtient la relation connue 



/dx f dx 



\ x.\ — x.\ — li^x I y x.\ — x.i — AVt 



en ayant égard à la seconde des formules (3o). 



