386 SUR LES FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES 



V'' ; ^ ^ \/x,.i-x,.i-k^x, zf:\/a;,.i-x,.i-lt';iî, iO'a) O'u) 



9 ; --- y 1 -A^r, . i —k'x, ~ 



>,Xi V '■ ' X, — r, 9 (o) ((«,«; 



[3, 



\/ k I 7 \/x|.i-/i'x,.i-Xj zp \/x...i-t'Xj.i-a;, 20(a)S,(ul 



1 O ; V 1 —k-X, . 1 — Vx, =— r--- : 



X,Xtv/A-, 



/. , r r v/x,.i-x,.i-A'x, zpv/x,.i-z,.i-A'j;, ■ii(a)B,{u 



V 1 — A^T, . I —A'Xi = — — — \ 



À.XtV'A-, 



Ces onze fonctions à Irois périodes ont, comme l'on voit, une 

 forme analogue à celle des fonctions circulaires ou exponentielles 

 simplement périodiques. La forme des sept premières répond à 

 celle des tangentes trigonométriquos, et celle des quatre der- 

 nières ressemble à la forme des sécantes. 



CHAPITRE II. 



DES NOUVELLES SERIES DONT LES QUOTIENTS FORMENT LES FONCTIONS 

 CHERCHÉES DE DEUX VARIABLES ET À QUATRE PERIODES. 



1- 



La série 8", (u) a la forme 



n=-hc>o n=oo -  



3-,(u) = 2 (7"" e"" -H 1 -T- 2 (/"'(e"' - e-""); / 



ri=-00 H=l 



elle se compose donc, d'après une loi manifeste et simple , des 

 fonctions de la forme e' -h e~' et d'un module q. Suivant une loi 

 semblable, j'ai formé des séries à deux variables au moyen 

 des fonctions de la forme c*S-, (c + A, q) =p e" ^^(ic— A, r/V que 

 nous venons de trouver comme numérateurs et dénominateurs 

 des fonctions triplement périodiques, et au moyen d'un troisième 



