DE DEUX VARIABLES ET A QUATRE PÉRIODES. 387 



module p, en ayant égard à ce que les quotients de deux séries 

 quelconques obtenues de celte manière jouissent, par rapport 

 aux arguments i' et iv, d'une périodicité quadruple, el aux indices 

 de période conjugués. 



On voit aisément que, pour cela, ces séries nouvelles doivent 

 être de la forme 



(Sa) 1+ 2 p"'' \e""'ô;{w+2mA, «/j-t-e '"" B;[w — 2inA, q) j = 



= 2 /)"■' e""' 3-, (!(; + 2mA, 7), 



m ~ — OC' 



r étant un quelconque des quatre indices o, i, 2,3. 

 Les quatre séries S-, (w, q) sont de la forme 



S e""^-^ '"-'■' 



où a = log (j et où i et c sont des expressions linéaires et entières 

 de w. De même, les nouvelles séries qui, comme nous le verrons 

 dans la suite, sont au nombre de seize, seront toutes comprises 

 dans la forme analogue 



(33) s Se 



m~ — c-t n^ — co 



OÙ a=log p, (3 = log 9, y — h A el où è, s, Ç sont des expres- 

 sions linéaires et entières des arguments 11 el ?t), ce qui a déjà été 

 mentionné plus haut. 



2. 



Je partirai de la série qui découle de la formule (33^ en y met- 

 tant ^=0, S—2V, £=2it); ou de (32!, en faisant r^3, et je la 



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