388 SUR LES FONCTIONS LLTIIA-ELLIPTIQUES 



désignerai par (^j, {v, iv, p, q, A), ou simplement par (p,_.{v,w), 

 quand on ne considère cpie des fonctions aux mêmes modules p, 

 q, A. 



Cela posé, on a 



^ "izr + oo 



I I ; (?,„, [v,w) = _2 p"' e-""' S-, {w+2mk,q) 



m^ — co 



= s 7"'e'"''S-3(î;+2nA,p) 



ou Dien 



(34) ( 2; (^3.3 (J^.u») = 2 Se 



m=— cx> H=— oo 



et, par conséquent, 



3 ;<p3,3(îV, »<))=!+ S S 2^"''.^"' |e'""*cos2(/nl;+n^y)^- 

 I _^g-v~A C0S2 (my— nîn) j 



Pour que la série ip,,[v,w) converge, il suffit que logp, logq 

 et/lA- — logp log (/, ou, s'ils sont imaginaires, que leurs modules 

 soient des quantités négatives. En effet, comme l'on a 



(m log/J4- 2iiAj' n' (logp log ç — 4A') 



m'- log/) + n" logq + ^mnA — 



iog/j 



(il log9+2mA)' m-Iogp logi/ — iA') 



iog 9 iog 7 



et, par conséquent. 



lïï 



\ogp+n- \ogq+lxmnk = 



(m logp4-2nA)' 

 2 log p 



{n iog 9 + 2mA)' 

 2 log 7 



loenlogo — 4A' logniogq— 4A' 



2 log 7 2 log p 



on peut dériver la série (p,, [v,iv) de cette autre 



io^ /) Ip" o — iA^ 



m:=H-oo nz=-|-oo 



2 Se 



m^ — oo n — — oo 



, log p log ; — jA' 



Xe 



/• logp log; — 4A' 



( -- l»s 1 



:8-, Vu, e 



)/ log )) log 7 — HA' \ 



.^A.,e """ ) 



